AVERAGE 2ND PART

What is Average (औसत क्या है)

   गणित में औसत एक ऐसा मान होता है जो दी गयी संख्याओ के योगफल तथा दी गयी कितनी संख्याएँ है उसके अनुपात से बनता है।
चलिए एक उदाहरण से हम आपको समझाते है कि जैसे कोई गाड़ी है जो कि पहले 2 घण्टें में वह 120 किलोमीटर चलती है तथा दुसरे 2 घण्टें में वह 150 किलोमीटर चलती है तथा तीसरी बार 1 घण्टें में केवल 60 किलोमीटर चलती है तो उस गाड़ी कि औसत चाल क्या होगी
तो दोस्तो हम जानते है कि चाल=दूरी/समय होता है इसलिए औसत चाल =कुल दूरी /कुल समय होगा
तो इस प्रकार औसत चाल =(120+150+60)/(2+2+1) km/h होगा
औसत चाल=330/5   km/h =66 km/h

इसलिए दोस्तो जो औसत का सूत्र बनेगा वह कुछ इस प्रकार होगा कि
Average=Addition of Data/Number of Data           ( In English)

औसत=आँकड़ो का योगफल/ आँकड़ो की संख्या                (हिन्दी में)
या आप इस Formula को ऐसे भी लिख सकते है कि
Total Quantities=Average   x     Number of Data                   ( In English)

कुल राशि=औसत  x   आँकड़ो की संख्या                                  (हिन्दी में)

Some Question with Solution related to Average (औसत से सम्बन्धित कुछ सवाल उत्तर के साथ)-

a)     1 से 21 तक की संख्याओं का औसत क्या होगा ।

दोस्तो यदि इस प्रकार के सवाल आये तो आप इस प्रकार हल कर सकते है

यहाँ पर आप n=21 मानकर इस प्रकार का Formula लगाइये

औसत=(n+1)/2

            =(21+1)/2=22/2=11

b)    प्रथम 7 सम संख्याओ का औसत निकालो

Formula-  औसत=(n+1)

N=7 रखने पर

अतः औसत = 7+1=8

  c)     प्रथम 7 विषम संख्याओं का औसत निकालो

Formula-    औसत=n           अर्थात्  औसत=7

d)    यदि संख्याएँ समान्तर श्रेणी में तो उनका औसत कुछ इस प्रकार होता है।

माना संख्याएँ 3,7,11,15, 19, 23,.............39 का औसत निकालो ?

इसके लिए Formula बहुत सरल है

औसत=(प्रथम पद + अन्तिम पद)/2

         =(3+39)/2=42/2=21

e) 1 से लेकर n तक सम संख्याओ का औसत=(अन्तिम सम संख्या + 2)/2

Note- यदि अन्तिम संख्या सम है तो उपरोक्त Formula लगेगा ।

Example – 1 से लेकर 84 तक सम संख्याओं का औसत ज्ञात किजिए

1 से लेकर 84 तक संख्या में  अन्तिम सम संख्या 84 है ।

औसत = (84+2)/2=43

लेकिन दोस्तो यदि अन्तिम संख्या विषम है तो हमारा फार्मूला कुछ इस प्रकार बनेगा

औसत=(अन्तिम संख्या+1)/2

Example-1 से लेकर 85 तक सम संख्याओं का औसत ज्ञात किजिए

औसत = (85+1)/2=43 होगा।

f)      1 से लेकर n तक विषम संख्याओ का औसत

 दोस्तो इस प्रकार के सवालो में हमें केवल यह ज्ञात करना होता है कि 1 से लेकर n तक विषम संख्याओं की संख्या कितनी है। और दोस्तो जैसा कि आप जानते है कि विषम संख्याओं का औसत ऐसी परिस्थिति उनकी संख्या ही होती है

 जैसे- 1 से 11 तक की विषम संख्याओं का औसत निकालो अथवा 1 से लेकर 12 तक की संख्याओं का औसत निकालो

प्रथम स्थिति में हमें (11+1) में 2 से भाग देना है और हमारा उत्तर प्राप्त हो जायेगा

   और दुसरी स्थिति में 12 को 2 सें विभाजित करना होगा और हमारा उत्तर प्राप्त हो जायेगा । क्योकि आधी संख्याएँ सम और आधी विषम है।

g)     प्रथम प्राकृतिक संख्याओ के वर्गो का औसत-

         =(n+1)(2n+1)/6                  जहाँ n अन्तिम संख्या है।

  h)    प्रथम प्राकृतिक संख्याओ के घनो का औसत-

=n(n+1)/2    जहाँ n अन्तिम संख्या है।

Some Example related to Average Question 

  1. किसी कक्षा के 30 छात्रों की औसत आयु 15 वर्ष है, यदि एक और छात्र की भी आयु शामिल कर ली जाय तो औसत आयु 16 वर्ष हो जाती है तो शामिल हुये छात्र की आयु क्या होगी ?

हल-             दोस्तो इसके लिए सामान्य सा सूत्र है शामिल हुये छात्र की आयु

=नया औसत  + पुराने छात्रो की संख्या  x  औसत में वृध्दि

=16+30  x 1

=46

2. यदि x2 + y2 =41 तथा xy=20 तो x तथा y का औसत क्या होगा ?

हल-             xy=20 से पता चलता है कि दो संख्याओ का गुणनफल 20 है

और इन्ही दोनो के वर्ग का योगफल 41 है अतः 5 और 4 दो ऐसी संख्याएँ है जिनका गुणनफल 20 होगा तथा दोनो के वर्ग का योगफल 41 होगा

तो इस प्रकार 5 और 4 का औसत =(5+4)/2=4.5  होगा

  3. किसी कक्षा में तीन लड़को की औसत आयु 16 वर्ष है यदि उन लड़को की आयु का अनुपात 4:5:7 हो तो सबसे बड़े लड़के की आयु क्या होगी ?

       हल-

चूकि तीनो लड़को की औसत आयु 16 है इसलिए तीनो बच्चो की कुल आयु=16  x 3 = 48

दोस्तो 48 वर्ष को 4:5:7 के अनुपात में विभाजित करेंगे तो हमारा उत्तर प्राप्त हो जायेगा

अब 48 में (4+5+7)=16 से भाग देने पर

48/16 =3 आयेगा

अतः इसी 3 का सबसे बड़ी अनुपात वाली संख्या 7 में गुणा करने पर हमारा मान 21 आयेगा

इस प्रकार सबसे बड़े लड़के की आयु=21 होगी ।

4. 12,22,32,42,52..........n2 के योगफल का औसत-

योगफल=n(n+1)(2n+1)/6

औसत= n(n+1)(2n+1)/(6 x n)

औसत= (n+1)(2n+1)/6

5. 13,23,33,43,53..........n3 के योगफल का औसत-

योगफल=[n(n+1)/2]2

औसत=[n(n+1)/2]2/n

औसत=n(n+1)2/4